Polinomial

A. Pengertian
     Polinomial adalah suatu persamaan suku banyak yang memiliki variabel, koefisien, selisih dan jumlah, dan pangkatnya bernilai positif.
Contoh polinomial : 20x⁴ - 5x³ + 2x² - 2x + 25
Contoh bukan polinomial : 20x - 5 + 4 = 20

B. Operasi Polinomial
     -Penjumlahan
f(x) + g(x) = 6x⁴ + 4x³ + 8x² + 5 + 6x³ + 2x² +
                     7x + 8
                  = 6x⁴ + 6x³ + 4x³ + 8x³ + 2x² + 7x +
                     5 + 8
                  = 6x⁴ + 10x³ + 10x² + 7x + 13

     -Pengurangan
f(x) - g(x) = (6x⁴ + 4x³ + 8x² + 5) - (6x³ + 2x² +
                     7x + 8)
                 = 6x⁴ + 4x³ + 8x² + 5 - 6x³ - 2x² - 7x - 8
                 = 6x⁴ - 6x³ + 4x³ + 8x² - 2x² + 7x + 5 - 8
                 = 6x⁴ - 2x³ + 6x² - 7x - 3

      -Perkalian
f(x) . g(x) = (6x⁴ + 4x³ + 8x² + 5) . (6x³ + 2x² +
                     7x + 8)
                 = 8x5 + 24x6 + 28x + 32x³ + 12x6
                   + 36x7 + 42x5 + 48x⁴ + 16x⁴ + 48x5
                   + 56x³ + 64x² + 10x + 30x³ + 35x + 40
                 = 36x7 + 24x6 + 12x6 + 8x5 + 42x5
                   + 48x5 + 48x⁴ + 16x⁴ + 32x³ + 56x³
                   + 30x³ + 64x² + 10x² + 28x + 35x + 40
                 = 36x7 + 36x6 + 98x5 + 62x⁴ + 118x³
                   + 74x² + 63x + 40

C. Metode Polinomial
     Contoh soal :
     f(x) = 2x³ - 3x² + 5x + 1
        x  = 2
     Pembahasan :
     -Metode Substitusi

     -Teori Horner
       °Buat tabel horner
       °Masukan nilai koefisien berurutan
       °Operasi horner

     -Cara Bersusun
       f(x) = x⁴ + 3x³ + 4x² + x + 4 : x - 2

Teorema Sisa I
"Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (x-k), maka sisanya adalah f(k)"

Contoh soal :
f(x) = x⁴ + 3x³ - 2x² + x - 5 : x - 2
Pembahasan :
Teorema sisa I dengan nilai f(k)
f(x) = x⁴ + 3x³ - 2x² + x - 5
f(k) = k⁴ + 3k³ - 2k² + k - 5
f(2) = (2)² + 3(2)³ - 2(2)² + 2 - 5
f(2) = 4 + 16 - 8 + 2 - 5
f(2) = 9

Teorema Sisa II
"Jika suatu suku banyak f(x) dibagi ax - b, maka akan bersisa f(b)/a"

Contoh soal :
f(x) = x³ + 2x² - 5x + 3 : 2x - 1
    a = 2
    b = 1
Pembahasan :
f(b/a) = f(½)
f(x) = x³ + 2x² - 5x + 3
f(b/a) = (b/a)³ + 2(b/a)² - 5(b/a) + 3
f(½) = (½)³ + 2(½)² - 5(½) + 3
f(½) = ⅛ + 2/3 - 5/2 + 3/1
f(½) = 1 + 4 - 20 + 24 / 8
f(½) = 9/8

Teorema Sisa III
"Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x-a)(x-b), maka bersisa px + q, dimana :
f(a) = pa + q
f(b) = pb + q"

Contoh soal :
x³ - 2x² + x - 5 : x² - 2x - 3
Pembahasan :
✓Memfaktorkan
   x² - 2x² + x - 5 = (x - 3)  (x + 1)
                              (x - a)  (x + b)
                              a = 3    b = -1

   f(x) = x³ + 2x² + x - 5
   f(a) = a³ + 2a² + a - 5
   f(3) = (3)³ + 2(3)² + 3 - 5
   f(3) = 27 - 18 + 3 - 5
   f(3) = 7
f(a) = pa . q
f(3) = p(3) . q
f(3) = 3p . q
7 = 3p . q
3p . q = 7 ..... (1)

   f(x) = x³ + 2x² + x - 5
   f(b) = b³ + 2b² + b - 5
   f(-1) = (-1)³ + 2(-1)² + (-1) - 5
   f(-1) = -1-2-1-5
   f(-1) = -9
f(b) = pb . q
f(-1) = p(-1) . q
f(-1) = -p . q
-9 = -p . q
-p . q = -9 ..... (2)

✓Metode Eliminasi
   3p + q = 7
   -p + q = -9
                     - (dikurang)
   4p = 16
     p =

✓Metode Substitusi
   3p + q = 7
    3(4) + q = 7
    12 + q = 7
           q = 7 - 12
           q = -5

✓Teorema Sisa
   px + q
    4x - 5

Teorema Faktor
"Jika suatu algoritma pembagian diuraikan suatu sisa bernilai nol, maka itulah faktornya"
Contoh soal & pembahasan :

Semoga Bermanfaat 😊